函数的概念与性质

ICE-P2024-09-252024-09-26

一、函数

函数的概念

设 A,B$A,B$A,B 是非空的实数集，如果对于集合 A$A$A 中的任意一个数 x$x$x ，按照某种确定的对应关系 f$f$f ，在集合 B$B$B 中都有唯一确定的数 y$y$y 和它对应，那么就称：f：A→B$f：A\rightarrow B$f：A\\rightarrow B 为从集合 A$A$A 到集合 B$B$B 的一个函数

函数的三要素

对应关系：其中y\=f(x)其中(x∈A,y∈B)$y=f(x) 其中 (x\in A, y\in B)$y=f(x) 其中 (x\\in A, y\\in B)
定义域： x$x$x 叫做自变量，x$x$x 的取值范围 A$A$A 叫做函数的定义域
值域：与 x$x$x 值相对应的 y$y$y 值的集合 {f(x)|x∈A}$\left\{ f(x)|x \in A \right\}$\\left\\{ f(x)|x \\in A \\right\\} ，值域是 B$B$B 的子集

区间的相关概念（复习，集合这章节已经讲过）

{x|a < x < b} 开区间 (a,b)
{x|a ≤$\leq$\\leq x ≤$\leq$\\leq b} 闭区间 [a,b]
{x|a≤$\leq$\\leq x <b} 左闭右开区间 [a,b)
{x|a< x ≤$\leq$\\leq b} 左开右闭区间 (a,b]
{x| x ≥$\geq$\\geq a} 区间表示为 [a,+∞$\infty$\\infty)
{x| x > a} 区间表示为 (a,+∞$\infty$\\infty)
{x| x ≤$\leq$\\leq b} 区间表示为 (-∞$\infty$\\infty , b]
{x| x < b} 区间表示为 (-∞$\infty$\\infty , b）

判断函数是否相同的条件

定义域相同
对应关系相同

函数的表示法

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系
图象法：用图像表示两个变量之间的对应关系，画函数图象常用的方法是描点作图，其步骤是列表、描点、连线；

(1)画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图．

(2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象．

(3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．

注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等．

分段函数

一般分段函数指在函数定义域内，对于自变量 x$x$x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数 f(x)$f(x)$f(x) ．
分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．
作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．

分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段的定义区间和表达式依次画出图象，要注意每段图象的端点是空心点还是实心点，组合到一起就得到整个分段函数的图象.

知识点及方法

求函数定义域的几种类型

1.若 f(x)$f(x)$f(x) 是整式，则函数的定义域是R.

2.若 f(x)$f(x)$f(x) 是分式，则应考虑使分母不为零．

3.若 f(x)$f(x)$f(x) 是偶次根式，则被开方数大于或等于零（非负数）．

4.若 f(x)$f(x)$f(x) 是由几个式子构成的，则函数的定义域是几个部分定义域的交集．

5.若 f(x)$f(x)$f(x) 是实际问题的解析式，则应符合实际问题，使实际问题有意义．

6.已知 f(x)$f(x)$f(x) 的定义域，求 f(g(x))$f(g(x))$f(g(x)) 的定义域：若 f(x)$f(x)$f(x) 的定义域为[_a_，_b_]，则 f(g(x))$f(g(x))$f(g(x)) 中 a≤g(x)≤b$a≤g(x)≤b$a≤g(x)≤b ，从中解得 x$x$x 的取值集合即为 f(g(x))$f(g(x))$f(g(x)) 的定义域．

7.已知 f(g(x))$f(g(x))$f(g(x)) 的定义域，求 f(x)$f(x)$f(x) 的定义域：若 f(g(x))$f(g(x))$f(g(x)) 的定义域为[_a_，_b_]，即 a≤x≤b$a≤x≤b$a≤x≤b ，求得 g(x)$g(x)$g(x) 的取值范围， g(x)$g(x)$g(x) 的值域即为 f(x)$f(x)$f(x) 的定义域．

求函数值域的常用方法

(1)观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察法得到．

(2)配方法：是求“二次函数”类值域的基本方法．

(3)换元法：运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值

(4)分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域．

求函数解析式的3种常用方法

1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式．

2.换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数 f(g(x))$f(g(x))$f(g(x)) 的解析式求 f(x)$f(x)$f(x) 的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令＝g(x)＝t$g(x)＝t$g(x)＝t ，反解出 x$x$x ，然后代入 f(g(x))$f(g(x))$f(g(x)) 中求出 f(t)$f(t)$f(t) ，从而求出 f(x)$f(x)$f(x) ．

3.解方程组法：已知关于 f(x)$f(x)$f(x) 与 f(1x)$f\left( \frac{1}{x} \right)$f\\left( \\frac{1}{x} \\right) 或 f(−x)$f(-x)$f(-x) 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出 f(x)$f(x)$f(x) ．

二、函数的基本性质

函数单调性

函数值随自变量的增大而增大(或减小)的性质叫做函数的单调性．

设函数 f(x)$f(x)$f(x) 的定义域为 I$I$I ，区间 D⊆I$D⊆I$D⊆I

1）若，∀x1，x2∈D,x1<x2$\forall x_{1}，x_{2}\in D, x_{1} < x_{2}$\\forall x_{1}，x_{2}\\in D, x_{1} < x_{2} 都有 f(x1)<f(x2)$f\left( x_{1} \right) < f \left( x_{2} \right)$f\\left( x_{1} \\right) < f \\left( x_{2} \\right) , 则 f(x)$f(x)$f(x) 在区间 D$D$D 上单调递增，

当函数 f(x)$f(x)$f(x) 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 (increasing function)

2）若，∀x1，x2∈D,x1f(x2)$f\left( x_{1} \right) > f \left( x_{2} \right)$f\\left( x_{1} \\right) > f \\left( x_{2} \\right)，则 f(x)$f(x)$f(x) 在区间 D$D$D 上单调递减，

当函数 f(x)$f(x)$f(x) 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数(decreasing funcion)

注意事项:

整个定义域满足才能称为增函数或者减函数；

在定义域的一部分区间里满足的单调性只是必要不充分条件

函数的单调区间

如果函数＝y＝f(x)$y＝f(x)$y＝f(x) 在区间 D$D$D 上单调递增或单调递减，那么就说函数＝y＝f(x)$y＝f(x)$y＝f(x) 在这一区间具有(严格的)单调性，区间 D$D$D 叫做＝y＝f(x)$y＝f(x)$y＝f(x) 的单调区间．

函数的最大值

设函数＝y＝f(x)$y＝f(x)$y＝f(x) 的定义域为 I$I$I ，如果存在实数 M$M$M 满足：若 ∀x∈I$∀x∈I$∀x∈I ，都有 f(x)≤M$f(x)\leq M$f(x)\\leq M ，使得＝∃x0∈I，使得f(x0)＝M$∃x0∈I，使得f(x_{0})＝M$∃x0∈I，使得f(x_{0})＝M , 称 M$M$M 是函数 y\=f(x)$y=f(x)$y=f(x) 的最大值；

几何意义： f(x)$f(x)$f(x) 图象上最高点的纵坐标

函数的最小值

设函数＝y＝f(x)$y＝f(x)$y＝f(x) 的定义域为 I$I$I ，如果存在实数 M$M$M 满足：若 ∀x∈I$∀x∈I$∀x∈I ，都有 f(x)≥M$f(x)\geq M$f(x)\\geq M ，使得＝∃x0∈I，使得f(x0)＝M$∃x0∈I，使得f(x_{0})＝M$∃x0∈I，使得f(x_{0})＝M 称 M$M$M 是函数 y\=f(x)$y=f(x)$y=f(x) 的最小值；

几何意义： f(x)$f(x)$f(x) 图象上最低点的纵坐标

求函数最值的常用方法

1．图象法：作出＝y＝f(x)$y＝f(x)$y＝f(x) 的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值．

2．运用已学函数的值域

3．运用函数的单调性：

若＝y＝f(x)$y＝f(x)$y＝f(x) 在区间，[a，b]$[a，b]$[a，b] 上单调递增，则＝，＝ymax＝f(b)，ymin＝f(a)$y_{max}＝f(b)， y_{min}＝f(a)$y_{max}＝f(b)， y_{min}＝f(a) .
若＝y＝f(x)$y＝f(x)$y＝f(x) 在区间，[a，b]$[a，b]$[a，b] 上单调递减，则＝，＝ymax＝f(a)，ymin＝f(b)$y_{max}＝f(a)， y_{min}＝f(b)$y_{max}＝f(a)， y_{min}＝f(b) .

4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个．

函数的奇偶性

偶函数

设函数 f(x)$f(x)$f(x) 的定义域为 I$I$I ，如果 ∀x∈I$∀x∈I$∀x∈I ，都有 −x∈I$-x∈I$-x∈I ，且＝f(−x)＝f(x)$f(-x)＝f(x)$f(-x)＝f(x) ，那么函数 f(x)$f(x)$f(x) 是偶函数(even fuction)

图像几何特征：关于 y$y$y 轴对称

奇函数

设函数 f(x)$f(x)$f(x) 的定义域为 I$I$I ，如果 ∀x∈I$∀x∈I$∀x∈I ，都有 −x∈I$-x∈I$-x∈I ，且＝f(−x)＝−f(x)$f(-x)＝-f(x)$f(-x)＝-f(x) ，那么函数 f(x)$f(x)$f(x) 是奇函数(odd function)

图像几何特征：关于原点对称

函数的奇偶性与单调性

1．若 f(x)$f(x)$f(x) 为奇函数且在区间，[a，b](a<b)$a，b$[a，b](a<b) 上单调递增，则在f(x)在[−b,−a]$f(x)在[-b,-a]$f(x)在[-b,-a] 上单调递增，即在对称区间上单调性一致(相同)．

2．若 f(x)$f(x)$f(x) 为偶函数且在区间，[a，b](a<b)$a，b$[a，b](a<b) 上单调递增，则在f(x)在[−b,−a]$f(x)在[-b,-a]$f(x)在[-b,-a] 上单调递减，即在对称区间上单调性相反．

三、复习与巩固

1、函数 f(x)\=x−3|x+1|−5$f(x) = \frac{\sqrt{x-3}}{\left| x +1\right|-5}$f(x) = \\frac{\\sqrt{x-3}}{\\left| x +1\\right|-5} 的定义域为（）

A. [3,+∞)$[3,+\infty)$[3,+\\infty)

B. [3,4)∪(4,+∞)$[3,4)\cup (4,+\infty)$[3,4)\\cup (4,+\\infty)

C. (3,+∞)$(3,+\infty)$(3,+\\infty)

D. [3,4)$[3,4)$[3,4)

2．已知 f(x)\=ax3+bx−1$f(x)=ax^{3}+bx-1$f(x)=ax^{3}+bx-1 ，且则f(−2)\=10,则f(2)$f(-2)=10, 则 f(2)$f(-2)=10, 则 f(2) 等于（）

A．8

B．-10

C．-12

D．10

3. 函数 f(x)$f(x)$f(x) 的定义域为 [−3,4]$[-3,4]$[-3,4] ,且在定义域内是增函数，若 f(2m−1)−f(1−m)>0$f(2m-1)-f(1-m)>0$f(2m-1)-f(1-m)>0 ，则m的取值范围为（）

A. m>23$m>\frac{2}{3}$m>\\frac{2}{3}

B. m<23$m < \frac{2}{3}$m < \\frac{2}{3}

C. 23<m≤52$\frac{2}{3} < m \leq \frac{5}{2}$\\frac{2}{3} < m \\leq \\frac{5}{2}

D. −1<m<23$-1 < m < \frac{2}{3}$-1 < m < \\frac{2}{3}

4. 已知函数：1) y\=x−2$y=x^{-2}$y=x^{-2} 2) y\=x43$y=x^{\frac{4}{3}}$y=x^{\\frac{4}{3}} 3) y\=x35$y=x^{\frac{3}{5}}$y=x^{\\frac{3}{5}} 4) y\=x−45$y=x^{-\frac{4}{5}}$y=x^{-\\frac{4}{5}} 其中即是偶函数，又在（，）（−∞，0）$（-\infty， 0）$（-\\infty， 0）上为增函数的有（）；

5. 函数 f(x)\=x2+4x−5$f(x) = \sqrt{x^{2} + 4x-5}$f(x) = \\sqrt{x^{2} + 4x-5} 的单调减区间为（）

6. 函数 f(x)\=−x+21−x$f(x) = -x + 2\sqrt{1-x}$f(x) = -x + 2\\sqrt{1-x} 的值域是（）

7. 已知函数其中f(x)\=3x−x,其中x∈(0,+∞)$f(x)=\frac{3}{x} - x, 其中 x\in (0, +\infty)$f(x)=\\frac{3}{x} - x, 其中 x\\in (0, +\\infty) :

(1) 判断并证明在f(x)在(0,+∞)$f(x)在(0, +\infty)$f(x)在(0, +\\infty) 上的单调性；

(2)解不等式:f(1−x3+x)>f(1)$f(\frac{1-x}{3+x})>f(1)$f(\\frac{1-x}{3+x})>f(1)

8. 设a为实数，，其中f(x)\=x2+|x−a|+1，其中x∈R$f(x) = x^{2}+\left| x -a\right| + 1，其中 x\in R$f(x) = x^{2}+\\left| x -a\\right| + 1，其中 x\\in R :

(1)讨论函数 f(x)$f(x)$f(x) 的奇偶性；

(2)求 f(x)$f(x)$f(x) 的最小值；

(1)讨论函数 f(x)$f(x)$f(x) 的奇偶性；

(2)求 f(x)$f(x)$f(x) 在 0≤x≤1$0\leq x \leq 1$0\\leq x \\leq 1 上的最大值；

10．已知 a∈R$a∈R$a∈R ，函数 f(x)\=x|x−a|$f(x)=x|x-a|$f(x)=x|x-a| ．

（1）判断函数 f(x)$f(x)$f(x) 的奇偶性，请说明理由;

（2）若函数在区间）[3,+∞）$[3,+∞）$[3,+∞）上单调递增，求实数 a$a$a 的取值范围；

（3）求函数 f(x)$f(x)$f(x) 在区间 [1,2]$[1,2]$[1,2] 上的最小值 g(a)$g(a)$g(a) 的表达式。